O NÚMERO 142857
Quando nos referimos aos produtos curiosos, procuramos
destacar as singularidades que apresentam certos números pela
disposição original de seus algarismos. O número 142857 é, nesse
gênero, um dos mais interessantes da Matemática e pode ser
incluído entre os chamados números cabalísticos.
Vejamos as transformações curiosas que podemos efetuar
com esse número.
Multipliquemo-lo por 2. O produto será:
285714
Vemos que os algarismos do produto são os mesmos do número
dado, escritos, porem, em outra ordem.
Efetuemos o produto do número 142857 por 3.
142857 x 3 = 428571
Ainda uma vez observamos a mesma singularidade: os algarismos
do produto são precisamente os mesmos do número, alterada
apenas a ordem.
A mesma coisa ocorre, ainda, quando o número é multiplicado
por 4, 5 e 6.
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 X 6 = 857142
Uma vez chegado ao fator 7, vamos notar outra particularidade.
O número 142857 multiplicado por 7 dá para produto
999999
formado de seis noves!
Experimentem multiplicar o número 142857 por 8. O produto
será:
1142856
Todos os algarismos do número aparecem ainda no produto,
com exceção do 7. O 7 do número dado foi decomposto em
duas partes 6 e 1. O algarismo 6 ficou à direita, e o 1 foi para
a esquerda completar o produto.
Vejamos agora o que acontece quando multiplicamos o número
142857 por 9:
1285713
Observem com atenção esse resultado. O único algarismo do
multiplicando que não figura no produto é o 4. Que teria aconte-
cido com esse 4? Aparece decomposto em duas parcelas 1 e 3 colocadas
nos extremos do produto.
Do mesmo modo poderíamos verificar as irregularidades que
apresenta o número 142857 quando multiplicado por 11, 12, 13,
15, 17, 18 etc.
Alguns autores chegaram a afirmar que há uma espécie de
coesão, entre os algarismos do número 142857, e que não permite
que esses algarismos se separem.
Vários geômetras notáveis — Fourrey, E. Lucas, Rouse Bali,
Guersey, Legendre e muitos outros — estudaram minuciosamente
as propriedades do número 142857.
Fourrey, em seu livro Récréatiorts Arithmétiques, apresentanos
o produto do número 142857 por 327451. Ao efetuar essa
operação, notamos uma interessante disposição numérica: as colunas
dos produtos parciais são formadas por algarismos iguais.
Retomemos o número 142857 e determinemos o produto desse
número pelos fatores 7, 14, 21, 28 etc, múltiplos de 7. Eis os
resultados:
142857 X 7 = 999999
142857 x 14 = 1999998
142857 X 21 = 2999997
142857 x 28 = 3999996
Os resultados apresentam uma disposição muito interessante.
O primeiro produto é um número formado de seis algarismos
iguais a 9; no segundo produto aparecem apenas cinco algarismos
iguais a 9, sendo que o sexto foi "decomposto" em duas parcelas
que foram ocupar os extremos dos resultados. E assim por
diante.
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