O problema das abelhas - Livro Matematica divertida e curiosa (Malba Tahan)

  Veja que impressionante esta parte do livro que fala sobre as habilidades matematicas das abelhas...

  Afirma Maeterlinck, no seu famoso livro sobre as abelhas,
que esses animais, na construção de seus alvéolos, resolvem um
problema de alta matemática.
   Há nessa asserção certo exagero do escritor belga: o problema que as abelhas resolvem pode ser abordado, sem grande dificuldade, com os recursos da Matemática elementar.
Não nos importa, porém, saber se o problema é elementar
ou transcendente; a verdade é que esses pequeninos e laboriosos insetos resolvem um interessantíssimo problema por um artifício que chega a deslumbrar a inteligência humana.

   Todos sabem que a abelha constrói os seus alvéolos para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. A abelha procura, portanto, obter uma forma de alvéolos que seja a mais econômica possível, isto é, que apresente maior volume para a menor porção de material empregado.
   É preciso que a parede de um alvéolo sirva, também, ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois do contrário cada parede só serviria a um alvéolo.
   Procuraram as abelhas uma forma prismática para os seus alvéolos. Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstício são: o triangular, o quadrangular e o hexagonal.
   Foi este último que as abelhas escolheram. E sabem por quê? Porque dos três prismas regulares A, B e C construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.
   Eis o problema resolvido pelas abelhas:
Dados três prismas regulares da mesma altura A (triangular),
B (quadrangular), C (hexagonal), tendo a mesma área lateral,
qual é o que tem maior volume?

   Uma vez determinada a forma dos alvéolos, era preciso fechálos,
isto é, determinar o meio mais econômico de cobrir os alvéolos.
A forma adotada foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é
constituído de três losangos iguais.14
   Maraldi, astrónomo do Observatório de Paris, determinou,
experimentalmente, com absoluta precisão, os ângulos desse losango
e achou 109°28', para o ângulo obtuso, e 70°32', para o
ângulo agudo. ,
   O físico Réaumur, supondo que as abelhas eram guiadas,
na construção dos alvéolos por um princípio de economia, propôs
ao geômetra alemão Koening, em 1739, o seguinte problema: Entre todas as células hexagonais, com o fundo formado de três losangos, determinar a que seja construída com a maior economia de material.
   Koening, que não conhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os ângulos do losango do alvéolo matematicamente mais económico deviam ser 109°26' para o ângulo obtuso e 70°34' para o ângulo agudo.
   A concordância entre as medidas feitas por Maraldi e os resultados calculados por Koening era espantosa. Os geômetras concluíram que as abelhas cometiam, na construção dos seus alvéolos, um erro de 2' no ângulo do losango de fechamento.
   A adoção do fundo romboidal traz, sobre o de fundo plano, uma economia denum alvéolo em cada 50 que são construídos.
   Essa diferença é tão pequena que só pode ser apreciada com auxilio de instrumentos de precisão.

   Concluíram os homens de ciência que as abelhas erravam, mas entre o alvéolo que construíam e o alvéolo matematicamente certo havia uma diferença extremamente pequena. Fato curioso! Alguns anos depois (1743), o geômetra Mac Laurin retomou novamente o problema e demonstrou que Koening havia errado e que o resultado era traduzido precisamente pelos valores dos ângulos dados por Maraldi — 109°28' e 70°32'.  A razão estava, pois, com as abelhas. O matemático Koening é que havia errado!